Intégration par parties : méthode ALPES et exemples concours

Pourquoi l'intégration par parties est incontournable

L'intégration par parties (IPP) est l'un des outils les plus rentables du programme de Terminale spécialité maths et de prépa scientifique. Dès qu'une intégrale mêle deux familles de fonctions (polynôme × exponentielle, logarithme, trigonométrie…), c'est presque toujours par IPP qu'on la débloque.

La formule est simple : ∫ u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)] − ∫ u(x)v'(x) dx. La vraie difficulté n'est pas la formule — c'est de choisir intelligemment qui joue le rôle de u et qui joue le rôle de v'. C'est là qu'intervient la méthode ALPES.

1. La méthode ALPES : choisir u sans se tromper

ALPES est un moyen mnémotechnique qui classe les fonctions par ordre de priorité pour être choisies comme u (la fonction qu'on va dériver) :

Règle : la fonction la plus haute dans ALPES devient u. L'autre devient v'. Cela garantit qu'à chaque IPP, on simplifie l'intégrale au lieu de la compliquer.

• A — Arc (fonctions trigonométriques réciproques : arctan, arcsin…)
• L — Logarithme (ln, log)
• P — Polynôme (x, x², x³…)
• E — Exponentielle (eˣ, aˣ)
• S — Sinus / cosinus (fonctions trigonométriques)

2. Exemple Terminale : ∫ x·eˣ dx

Deux familles : polynôme (x) et exponentielle (eˣ). Dans ALPES, P passe avant E, donc u = x et v' = eˣ.

On obtient u' = 1 et v = eˣ. La formule donne : ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)·eˣ + C.

Vérification rapide en dérivant le résultat : c'est bien x·eˣ. L'IPP fonctionne parce qu'on a fait chuter le degré du polynôme.

3. Exemple prépa : ∫ ln(x) dx

Piège classique : il n'y a qu'une fonction visible. On écrit ln(x) = 1 · ln(x), puis u = ln(x) (L passe avant P dans ALPES) et v' = 1.

Donc u' = 1/x et v = x. On obtient : ∫ ln(x) dx = x·ln(x) − ∫ x · (1/x) dx = x·ln(x) − x + C.

Cette technique du « facteur 1 caché » est un réflexe attendu aux concours (CCINP, Mines-Ponts, Centrale).

4. IPP itérée : ∫ x²·cos(x) dx

Quand le polynôme est de degré ≥ 2, on itère l'IPP autant de fois que nécessaire. Ici P (x²) prime sur S (cos), donc u = x², v' = cos(x).

Première IPP : ∫ x²·cos(x) dx = x²·sin(x) − ∫ 2x·sin(x) dx. On recommence sur ∫ 2x·sin(x) dx : u = 2x, v' = sin(x), ce qui donne −2x·cos(x) + ∫ 2cos(x) dx = −2x·cos(x) + 2sin(x).

Résultat final : ∫ x²·cos(x) dx = x²·sin(x) + 2x·cos(x) − 2·sin(x) + C. À chaque itération, le degré du polynôme baisse de 1 — c'est le signal que la méthode converge.

5. Cas concours : intégrale de Wallis et récurrences

Aux concours de prépa, l'IPP sert surtout à établir des relations de récurrence sur des suites d'intégrales : intégrales de Wallis (Iₙ = ∫₀^{π/2} sinⁿ(x) dx), intégrales du type Jₙ = ∫₀¹ xⁿ·eˣ dx, etc.

Le réflexe attendu : poser l'IPP, isoler Iₙ en fonction de Iₙ₋₁ ou Iₙ₋₂, puis exploiter la relation pour calculer un terme, prouver une convergence ou encadrer.

Points-clés à retenir

Trois automatismes qui font gagner des points le jour du bac ou du concours.

• Toujours écrire explicitement u, u', v, v' avant de dérouler la formule.
• ALPES dicte le choix de u — ne jamais improviser sur ce point.
• Face à une seule fonction (ln, arctan…), penser au « facteur 1 caché ».

Conclusion : passer de la formule au réflexe

L'IPP n'est pas une technique isolée : c'est un réflexe qui débloque une famille entière d'intégrales et de suites récurrentes. La différence entre un élève qui la maîtrise et un élève qui l'improvise se voit immédiatement sur une copie de concours. Un accompagnement ciblé permet d'automatiser ALPES en quelques séances.