Mathématiques · Première → Terminale
Dérivées usuelles : tableau complet et règles de calcul
La dérivation est l'outil central de l'analyse au lycée. Une fois le tableau des dérivées usuelles su par cœur et les quatre règles maîtrisées, la quasi-totalité des exercices de Première et Terminale devient mécanique.
Le tableau des dérivées usuelles
- f(x) = k (constante) → f'(x) = 0
- f(x) = xⁿ → f'(x) = n·xⁿ⁻¹
- f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)
- f(x) = 1/x → f'(x) = −1/x²
- f(x) = eˣ → f'(x) = eˣ
- f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
- f(x) = cos(x) → f'(x) = −sin(x)
- f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x)
Les quatre règles de dérivation
- Somme : (u + v)' = u' + v'
- Produit : (uv)' = u'v + uv'
- Quotient : (u/v)' = (u'v − uv')/v²
- Composée : (u(v))' = v' × u'(v), en particulier (e^u)' = u'·e^u et (ln u)' = u'/u
Méthode : dériver sans se perdre
Identifiez d'abord la structure de l'expression : est-ce une somme, un produit, un quotient, une composée ? Posez ensuite u et v explicitement, calculez u' et v' à part, et seulement après appliquez la formule. Cette discipline supprime la majorité des erreurs de signe.
Les erreurs à éviter
- • Dériver un produit comme u'v' — la formule est u'v + uv'.
- • Inverser le numérateur du quotient : c'est bien u'v − uv'.
- • Oublier le facteur u' dans une composée (e^u, ln u, √u).
- • Confondre la dérivée de cos et celle de sin, ou perdre le signe moins.
Questions fréquentes
À quoi sert la dérivée concrètement ?
Elle donne le sens de variation d'une fonction et le coefficient directeur de la tangente. C'est ce qui permet de trouver un maximum, un minimum, ou d'optimiser une quantité dans un problème concret.
Faut-il apprendre le tableau par cœur ?
Oui, sans exception. C'est le socle : hésiter sur une dérivée usuelle fait perdre du temps et provoque des erreurs en cascade dans tout l'exercice.
Cette notion bloque encore ?
Un bilan offert permet d'identifier précisément ce qui coince et de repartir avec un plan de travail clair.