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Identités remarquables : les 3 formules et comment les utiliser
Les identités remarquables sont trois égalités qui reviennent dans presque tous les calculs algébriques du collège au lycée. Les connaître par cœur ne suffit pas : il faut savoir les lire dans les deux sens, du développement vers la factorisation.
Les trois formules à connaître
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
Ces trois égalités sont vraies pour tous les nombres a et b. On peut donc les appliquer à des nombres, à des lettres, ou à des expressions entières — c'est ce qui les rend si puissantes.
Développer avec une identité remarquable
Développer, c'est passer de la forme factorisée (produit) à la forme développée (somme). Exemple : (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25. Le piège classique est d'écrire x² + 25 en oubliant le double produit 2ab.
Avec une soustraction : (2x − 3)² = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. Attention à bien élever le coefficient au carré : (2x)² vaut 4x², pas 2x².
Factoriser : lire la formule dans l'autre sens
Factoriser, c'est reconnaître une identité remarquable dans une somme. Devant x² − 49, on repère une différence de deux carrés : x² − 7², donc (x + 7)(x − 7).
Devant x² + 6x + 9, on cherche si c'est un carré parfait : 9 = 3² et 6x = 2 × x × 3, donc l'expression vaut (x + 3)². Ce réflexe est indispensable pour résoudre les équations du second degré sans discriminant.
À quoi ça sert concrètement
- Résoudre une équation produit nul après factorisation
- Simplifier une fraction rationnelle en supprimant un facteur commun
- Calculer mentalement : 102² = (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404
- Préparer l'étude du second degré en Première
Les erreurs à éviter
- • Oublier le double produit : (a + b)² n'est jamais égal à a² + b².
- • Se tromper de signe dans (a − b)² : le terme en b² reste positif.
- • Confondre (a + b)(a − b) = a² − b² avec (a − b)² .
- • Ne pas élever le coefficient au carré : (3x)² = 9x².
Questions fréquentes
En quelle classe apprend-on les identités remarquables ?
Elles sont introduites en 3ᵉ et réutilisées en permanence en Seconde, Première et Terminale, notamment pour la factorisation et le second degré.
Comment retenir les trois formules ?
Plutôt que d'apprendre les lettres, refaites le développement à la main deux ou trois fois : (a + b)(a + b) redonne mécaniquement a² + 2ab + b². La formule devient alors une conséquence, pas une récitation.
Cette notion bloque encore ?
Un bilan offert permet d'identifier précisément ce qui coince et de repartir avec un plan de travail clair.