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Loi binomiale : formule, conditions et calculs à la calculatrice
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de n répétitions identiques et indépendantes d'une même expérience à deux issues. C'est la loi discrète la plus utilisée au lycée et en études supérieures.
Les trois conditions d'application
- L'expérience n'a que deux issues : succès ou échec (épreuve de Bernoulli).
- Elle est répétée n fois de façon identique.
- Les répétitions sont indépendantes les unes des autres.
Si l'une des trois conditions manque, la loi binomiale ne s'applique pas — c'est le premier point que vérifient les correcteurs.
La formule
Si X suit la loi B(n, p), alors P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n−k), où C(n, k) est le nombre de chemins menant à k succès.
Espérance : E(X) = n × p. Variance : V(X) = n × p × (1 − p). Écart-type : σ = √(np(1 − p)).
Calculer P(X ≤ k) et P(X ≥ k)
La calculatrice donne directement P(X = k) (binomFdp) et P(X ≤ k) (binomFRép). Pour P(X ≥ k), utilisez le complémentaire : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). C'est le calcul le plus souvent raté en devoir.
Les erreurs à éviter
- • Confondre P(X ≥ k) et 1 − P(X ≤ k) : il faut décaler de 1.
- • Oublier de vérifier l'indépendance des répétitions (tirage sans remise !).
- • Intervertir p et 1 − p dans la formule.
Questions fréquentes
Tirage avec ou sans remise ?
La loi binomiale suppose des tirages avec remise, donc indépendants. Sans remise, les probabilités changent à chaque tirage et le modèle ne convient plus (sauf population très grande, où on l'accepte comme approximation).
La loi binomiale est-elle au programme de Terminale ?
Elle est introduite en Première spécialité et réinvestie en Terminale, notamment autour de l'échantillonnage et des intervalles de fluctuation.
Cette notion bloque encore ?
Un bilan offert permet d'identifier précisément ce qui coince et de repartir avec un plan de travail clair.