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Nombres complexes : forme algébrique, module, argument et forme exponentielle
Les nombres complexes prolongent les réels en donnant un sens à √(−1). En Terminale maths expertes et en prépa, ils servent autant en géométrie qu'en analyse et en électricité.
Forme algébrique et conjugué
Tout complexe s'écrit z = a + ib avec a la partie réelle, b la partie imaginaire et i² = −1. Le conjugué est z̄ = a − ib. Le produit z × z̄ = a² + b² est toujours un réel positif : c'est ce qui permet de rendre un dénominateur réel.
Module et argument
Le module |z| = √(a² + b²) est la distance à l'origine. L'argument arg(z) est l'angle que fait le vecteur image avec l'axe des abscisses. Module et argument donnent la forme trigonométrique : z = |z|(cos θ + i sin θ).
Forme exponentielle
Avec la notation d'Euler, z = re^(iθ). Cette écriture rend les produits et les puissances immédiats : le module se multiplie, les arguments s'additionnent. C'est l'outil décisif pour les rotations et la formule de Moivre.
Les erreurs à éviter
- • Écrire √(−4) = −2 : on écrit 2i.
- • Oublier que l'argument n'est défini que modulo 2π.
- • Confondre module et partie réelle.
Questions fréquentes
Les complexes sont-ils au programme de Terminale générale ?
Ils figurent en maths expertes, option prise en complément de la spécialité maths, et sont essentiels pour la prépa scientifique et les écoles d'ingénieurs.
À quoi servent-ils en dehors des maths ?
En physique et en électronique, ils décrivent les régimes sinusoïdaux et les impédances — un calcul autrement très lourd en trigonométrie.
Cette notion bloque encore ?
Un bilan offert permet d'identifier précisément ce qui coince et de repartir avec un plan de travail clair.