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Produit scalaire : les 4 formules et leurs usages
Le produit scalaire transforme un problème de géométrie en un calcul algébrique. Il sert à démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur, et il est omniprésent en Terminale, en prépa et en physique.
Les quatre expressions du produit scalaire
- Avec le cosinus : u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ)
- Avec les coordonnées : u⃗·v⃗ = xx' + yy' (et + zz' dans l'espace)
- Avec les normes : u⃗·v⃗ = ½(‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²)
- Par projection orthogonale d'un vecteur sur l'autre
Toutes donnent le même nombre : on choisit celle qui utilise les données de l'énoncé. Coordonnées connues ? La deuxième. Angle connu ? La première.
Le critère d'orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. C'est le résultat le plus utilisé : il transforme une question géométrique en une équation à résoudre.
Calculer un angle
En combinant les deux premières expressions, on obtient cos(θ) = (xx' + yy') / (‖u⃗‖ × ‖v⃗‖), puis θ avec l'arccos de la calculatrice. Pensez à vérifier que le résultat est cohérent avec la figure.
Les erreurs à éviter
- • Écrire un produit scalaire comme un vecteur : le résultat est un nombre réel.
- • Oublier le cosinus quand les vecteurs ne sont pas colinéaires.
- • Confondre norme et coordonnée dans le calcul de l'angle.
Questions fréquentes
Le produit scalaire peut-il être négatif ?
Oui : il est négatif quand l'angle entre les deux vecteurs est obtus (supérieur à 90°). Un signe négatif est donc une information géométrique, pas une erreur de calcul.
À quoi sert-il en physique ?
Le travail d'une force est exactement un produit scalaire : W = F⃗·d⃗. C'est pourquoi la notion est réinvestie en spécialité physique-chimie.
Cette notion bloque encore ?
Un bilan offert permet d'identifier précisément ce qui coince et de repartir avec un plan de travail clair.