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Théorème de Pythagore : énoncé, réciproque et exemples
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. C'est l'outil de base pour calculer une longueur manquante en géométrie, et il reste utilisé jusqu'en Terminale dans le repère et les vecteurs.
L'énoncé
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : BC² = AB² + AC². Le côté BC, opposé à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse — c'est toujours le plus long.
Calculer l'hypoténuse
Si AB = 3 cm et AC = 4 cm, alors BC² = 9 + 16 = 25, donc BC = 5 cm. On additionne, puis on prend la racine carrée.
Calculer un côté de l'angle droit
Si BC = 13 cm et AB = 5 cm, alors AC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc AC = 12 cm. Ici on soustrait : l'hypoténuse est toujours le carré le plus grand.
La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle. On calcule les deux membres séparément et on les compare — c'est la rédaction attendue au brevet.
Les erreurs à éviter
- • Prendre le mauvais côté pour l'hypoténuse : elle est face à l'angle droit.
- • Oublier la racine carrée à la fin et donner BC² comme réponse.
- • Additionner alors qu'il faut soustraire quand on cherche un côté de l'angle droit.
- • Appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle.
Questions fréquentes
Quand utilise-t-on Pythagore plutôt que Thalès ?
Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle. Thalès sert quand deux droites parallèles coupent deux sécantes et qu'on travaille sur des rapports de longueurs.
Le théorème tombe-t-il au brevet ?
Presque chaque année, souvent couplé à la réciproque ou à la trigonométrie dans un exercice de géométrie ou de situation concrète.
Cette notion bloque encore ?
Un bilan offert permet d'identifier précisément ce qui coince et de repartir avec un plan de travail clair.