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Théorème de Thalès : configuration, formule et réciproque
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dès que deux droites parallèles coupent deux sécantes. Toute la difficulté est de reconnaître la configuration et d'écrire les rapports dans le bon ordre.
La configuration
Deux droites sécantes en A sont coupées par deux parallèles (BC) et (MN), avec M sur (AB) et N sur (AC). On obtient alors l'égalité des rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Il existe deux figures classiques : la configuration « triangle » (les points sont du même côté de A) et la configuration « papillon » (les points sont de part et d'autre de A). La formule est la même.
Écrire les rapports sans se tromper
La règle sûre : dans chaque fraction, le numérateur et le dénominateur doivent partir du même sommet A, et les trois fractions doivent respecter le même ordre. Écrivez d'abord l'égalité complète, remplacez ensuite par les valeurs connues, puis faites le produit en croix.
La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
Si les points sont alignés dans le même ordre sur les deux sécantes et que AM/AB = AN/AC, alors (MN) et (BC) sont parallèles. La condition d'alignement dans le même ordre est indispensable : sans elle, la conclusion est fausse.
Les erreurs à éviter
- • Mélanger les sommets dans les fractions.
- • Appliquer Thalès alors que les droites ne sont pas parallèles.
- • Oublier de vérifier l'ordre des points quand on utilise la réciproque.
Questions fréquentes
Thalès sert-il encore au lycée ?
Oui, sous une autre forme : les rapports de longueurs deviennent des coefficients de colinéarité de vecteurs en Seconde et Première.
Comment savoir si on est en configuration papillon ?
Si le sommet A est situé entre les deux parallèles, la figure ressemble à deux triangles opposés par le sommet : c'est le papillon. Le calcul, lui, ne change pas.
Cette notion bloque encore ?
Un bilan offert permet d'identifier précisément ce qui coince et de repartir avec un plan de travail clair.